Eksistenspåstander som teoremer ble fasjonable etter at Hilbert introduserte den aksiomatiske metoden. Før det snakket folk oftere om problemer og konstruksjoner (etter Euklids, eller rettere sagt Pappus, skill). I dette tilfellet var konstruksjonen av en kurve gitt sin krumning og vridning som funksjoner av bølgelengde (de "naturlige ligningene"). For flykurver vises konstruksjonen (naturlig nok fra krumning alene) i Eulers De constructione aequationum ope motus tractorii aliisque ad methodum tangentium inversam pertinentibus (Om konstruksjon av ligninger ved bruk av dratt bevegelse, og av andre ting som er relevante for den omvendte metoden av tangenter, 1736), så tilskriver McCleary "Fundamental Theorem of Plane Curves" til ham. Euler introduserer først ideen om naturlig ligning (uten navn), og gjør beregningene for tractrix. Senere brukte han modifiserte versjoner av naturlige ligninger (med hellingsvinkel i stedet for krumning) for å vise at logaritmisk spiral var lik dens utviklede (1740), og sykloid var kongruent til den (1764), se Boyers History of Analytic Geometry , s.227-8. I følge Gray's Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces ble naturlige ligninger deretter studert av Lacroix og Hill, Lacroix and the Calculus by Domigues gir mye bakgrunn om den tidlige historien av differensialgeometri.

Tilfellet med romkurver måtte imidlertid vente til Frenet (delvis i 1847) og Serret (1851) introduserte ligningssystemet for den bevegelige rammen, som kreves for konstruksjonen. Det ble deretter oppnådd av Hoppe i Ueber die Darstellung der Curven durch Krümmung und Torsion (1862). Struik ser ikke ut til å ha vært klar over Hoppes arbeid, da han tilskriver Riccati-ligningsmetoden til Lie (1882) og Darboux (1887). Scofield in Curves of Constant Precession skriver:

" Denne aktiviteten, kalt" å løse naturlige ligninger ", oppnås vanligvis ved å løse Riccati-ligninger ... Selv om løsningen generelt eksisterer, kan den vanligvis ikke oppnås eksplisitt. Euler [6] fant eksplisitte integrerte formler for plan kurver (der $ \ tau = 0 $ ) gjennom direkte geometrisk analyse. Hoppe [9] utviklet en generell metode for å løse de naturlige ligningene for romkurver ved å løse Riccati-ligninger gjennom en komplisert sekvens av integrerte transformasjoner. Han gikk bort for å oppnå formler for de tangente, normale og binormale indikatorene for generelle helikser og i det vesentlige for kurver med konstant presesjon. Enneper [5] oppnådde eksplisitte lukkede formløsninger for helikser på roterte koniske snitt gjennom direkte geometrisk analyse. "