Multiplikasjon, før oppfinnelsen av moderne (aksiomatiske) algebra, ble definert som operasjonen som ga området til et rektangel med sider av en bestemt lengde. 1 Kommutativitet av multiplikasjon følger deretter av to aksiomer:

• Kongruente geometriske figurer har like områder
• Enhver geometrisk figur som reflekteres gjennom en linje er kongruent til den opprinnelige figuren

og observasjonen som reflekterer et rektangel gjennom en linje gjennom et hjørne i en 45 graders vinkel fra de to sidene, vender rollene til sidene til rektangelet, slik at siden som tidligere tilsvarte $ a $ i figuren nå tilsvarer $ b $ og omvendt. Siden det første rektangelet tilsvarer $ a * b $ og det andre rektangelet tilsvarer $ b * a $, og de har samme område, $ a * b = b * a $.

Merk: geometrisk intuisjon bak dette beviset brukes fortsatt i dag, i beviset i mengde teorien om at $ | A \ ganger B | = | B \ ganger A | $. (Det vanlige induktive beviset du kanskje har sett for heltall, vil fungere for endelige sett, men for uendelige sett er det lettere å gjøre et direkte 'geometrisk' bevis).

1 For eksempel angir Euclid teoremet som vi i dag vil si som "arealet av en trekant med høyden $ h $ og basen $ b $ er $ \ frac {1} {2} bh $ som "Hvis et parallellogram og en trekant er på samme base og i samme paralleller, er parallellogrammet dobbelt så trekantet", dvs. "arealet til en trekant med høyden $ h $ og basen $ b $ er halve arealet av et parallellogram med samme høyde og samme base ". Archimedes går et skritt videre og sier teoremet" området av en sirkel med radius $ r $ er $ \ pi r ^ 2 $ "(som han var den første til å bevise) som" Arealet til en hvilken som helst sirkel er lik en rettvinklet trekant der en av sidene rundt den rette vinkelen er lik radien, og den andre til den omkrets, av sirkelen ", dvs." området for en sirkel er $ \ frac {1} {2} rC $ ". Merk at $ \ frac {1} {2} rC = \ frac {1} {2} r \ pi D = \ frac {1} {2} r \ pi 2r = \ pi r ^ 2 $ ", men Archimedes mangler tydeligvis språket for å uttrykke sitt resultat i den formen.

Dann en serie konferanser jeg hørte om "arabisk / islamsk" matematikk (spesielt Al Khawarizmi), en praktisk motivasjon for å fullføre firkanten (som ga algoritmen til å løse 2. graders ligning) kunne ha vært (veldig antatt) estimeringen av mengden fliser som trengs for å utvide et palass med en viss lengde på veggene.

I det minste for heltall gir plassering av firkantede fliser på et rektangulært gulv en naturlig intuisjon enn produktet pendler. Du kan plassere fliser fra øst til vest eller sør til nord og få samme gulv.