Forklaringen jeg lærte da jeg først lærte begrepet Poincare patch på AdS $ _ {d + 1} $ i sammenheng med AdS / CFT, er følgende. Beregningen for en slik oppdatering er

\ begin {ligning *} ds ^ 2 = \ frac 1 {z ^ 2} \ left (dz ^ 2 + \ eta _ {\ mu \ nu} dx ^ \ mu dx ^ \ nu \ right) \ end {equation *}

der $ x ^ \ mu $ er koordinater på et $ d $ -dimensjonalt Minkowski-mellomrom og $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ er Minkowski-beregningen, og $ z > 0 $. En åpenbar familie av isometrier av denne beregningen er de som lar $ z $ være faste og transformerer $ x ^ \ mu $ ved en isometri av Minkowski-rommet. Selvfølgelig er disse isometriene som en gruppe kjent som Poincaré-gruppen. Selv om vi ikke nødvendigvis kan hevde at Poincaré-gruppen er en undergruppe av isometri-gruppen til AdS, får vi absolutt inneslutning på nivået av algebraer; det vil si at AdS har en familie av Killing-felt med algebra $ \ mathbf R ^ {d-1,1} \ rtimes \ mathfrak {so} (d-1,1) $.

Blant fysikere , denne forklaringen gir mening fra et moderne perspektiv. Disse isometriene gir nøyaktig Poincaré-symmetrien på grensen CFT. Derfor, hvis man ønsker å bryte konform symmetri mens man opprettholder Poincare-symmetri (som i mange applikasjoner som RS-modeller og holografisk QCD), er AdS-bildet klart. Det er ingen tvil i mitt sinn om at begrepet "Poincaré patch" er så utbredt skyldes i det minste delvis denne bekvemmeligheten; ellers ser det ut som "AdS-Rindler koordinater" eller noe lignende vil passe like bra.

Dette er imidlertid ikke opprinnelsen til begrepet. Poincaré er involvert mer direkte. I en serie arbeider om hyperbolsk rom (som begynner med [1]), fant Poincaré en Riemann-beregning (nå kalt Poincaré-metrisk) med konstant krumning $ -1 $ på øvre halvrom, gitt av $ ds ^ 2 = (dx_1 ^ 2 + \ cdots + dx_ {n-1} ^ 2 + dx_n ^ 2) / x_n ^ 2 $. Dette er mest kjent i dimensjon 2 (hvor det er relatert til kompleks analyse), men generaliserer lett til høyere dimensjoner.

Den første anvendelsen av Poincarés ideer til de Sitter-rommet som jeg kunne finne er en ganske kort kommentar: [2]. Resultatet av dette arbeidet viser at den Lorentzianske versjonen $ ds ^ 2 = (dx_1 ^ 2 + \ cdots + dx_ {n-1} ^ 2 - dx_n ^ 2) / x_n ^ 2 $ kan være isometrisk innebygd i de Sitter-rommet , som gir en geodesisk fullføring. Mens begrepet "Poincaré-lapp" ikke vises eksplisitt hvor som helst i denne artikkelen, ser det ut til å være et enkelt sprang i terminologien fra "Lorentz-Poincaré-metrisk på en lapp med dS" til "Poincaré-lapp med dS", og deretter analogt med Annonser.

Det tidligste papiret jeg kunne finne med begrepet "Poincaré patch" er det ganske berømte papiret [3], som ikke gir noe sitat for det eller forklarer betydningen, men jeg er relativt trygg den kommer fra den Lorentziske versjonen av Poincarés arbeid om hyperbolsk rom som beskrevet ovenfor.

Referanser:

[1] Henri Poincaré (1882) " Théorie des Groupes Fuchsiens ", Acta Mathematica .

[2] NOMIZU, Katsumi. Lorentz-Poincaré-beregningen på øvre halvrom og dens utvidelse. Hokkaido Math. J. 11 (1982), nr. 3, 253-261. doi: 10.14492 / hokmj / 1381757803. http://projecteuclid.org/euclid.hokmj/1381757803.

[3] Bañados, M., Henneaux, M., Teitelboim, C., Zanelli, J .: Geometry of the 2 + 1 black hole. gr-qc / 9302012; Phys. Rev. D48, 1506 (1993)