Mitt inntrykk er at Leibnitz vanligvis tilbyr flere tilnærminger som er alternativer, og som ikke er konsistente. (Ikke overraskende, siden de fleste av papirene er hans notater, skrevet "for pulten", ikke ment for ham for publisering.)

Wallis i sin bok om integrasjon, som er tidligere både Newton og Leibnitz, bruker konseptet med en høyre grense for en mengde som går til null. Så det er vilkårlig lite, men aldri null.

Leibnitz konstruerer dem i en publisert kort artikkel, om hva uendelige dyr er, på en lignende (men ikke alltid helt) måte. Kanskje dette kan tas som hans "offisielle" oppfatning, siden han publiserte den. (Men han behandler dem inkonsekvent på tvers av hele hans arbeid.)

I utgangspunktet konstruerer han en rett trekant i kartesiske koordinater, og krysser den med en geodesik to steder. Han beveger geodesikken kontinuerlig mot et toppunkt i trekanten, og skaper en ny trekant hvis sider blir kortere og konvergerer til null (hvis geodesikken berører toppunktet). Men han definerer en brøkdel der tallene er lengder på sidene av trekanten slik konstruert.

I dette tilfellet: nevneren kan ikke være null, hvis systemet skal være konsistent, så bevegelsen til geodesikken er begrenset ved at den ikke kan berøre toppunktet. Uansett hva som kan konstrueres av en slik bevegelse, er det uendelig lite, sier han.

Han definerer hver uendelig liten som en brøkdel konstruert av en slik bevegelse. Både nevner og teller blir mindre etter hvert som geodesikken nærmer seg, men blir aldri null. Og fordi vinkelen til geodesikken der den krysser hver side av trekanten IKKE er den samme, er sidene av trekanten som er konstruert IKKE, bortsett fra i et spesielt tilfelle av konstruksjonen, like.

Selvfølgelig er ikke alle uendelige dyr identiske. Uendelig liten for ham refererer derfor, så langt som hans publiserte arbeid, til ethvert antall som alltid avtar, på samme måte som Hinchin i sin 50-talls lærebok presenterte saken. Å være et uendelig minimum, så langt som Leibnitz angår, er å være konstruert på en bestemt måte av en bestemt rekke endringer i en annen funksjon, men det sier ingenting om selve mengden. (Hinchin nikker godkjent.)

Imidlertid, i sin diskusjon om modelleringskvalitet etter kvantitet, via kontinuitet, er uendelige størrelser vilkårlig små mengder, og blir til slutt null, på hvilket tidspunkt en kvalitet forvandles til en annen.

Jeg foreslår å behandle hans mening om uendelig store ontologi som ikke vesentlig forskjellig fra Wallis (grense for en variabel mengde, som går til null, fra høyre side) som antagelig inspirerte den, og er basert på høyre håndgrenser for funksjoner som reduseres etter hvert som inngangen øker. Bare han er ikke konsekvent på tvers av alle papirene. . Fra hukommelsen skrev Wallis på ett sted ekvivalent med

$ \ undersett {x \ rightarrow 0 +} {\ lim} x $

som det han mente med uendelig, moderne notasjon. Dette er linjetykkelsen i diagrammene hans. Å summere en uendelig mengde av slike linjer som kreves for å fylle figurene, ga figurene områdene. Men ifølge Beeley skriver han i sin senere kommunikasjon til Leibniz at de - linjene - har bokstavelig talt null tykkelse, har han bestemt seg for. Leibniz er uenig. Leibniz sin egen ide i moderne notasjon er nærmere Wallis 'første uttalelse, og mer presist ovennevnte oppfatning. Der $ x $ er input til en funksjon (uendelig liten), slik at $ dx = \ frac {f (x)} {g (x)} \ rightarrow 0 + $ der hvor $ x \ rightarrow 0 + $.

Den vanlige tolkningen av uendelig store dyr ligger i rammen av "ikke-standard analyse". Den gir en fullstendig grundig begrunnelse.

Jeg har ikke lest Ishiguro, så jeg vil bare gi inntrykk av historien fra et par andre sekundære kilder:

Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development, https://archive.org/details/TheHistoryOfTheCalculusAndItsConceptualDevelopment

Blaszczyk, Katz, and Sherry, Ten Misconcepts from the History of Analysis and Their Debunking, http: // arxiv. org / abs / 1202.4153

Den relevante delen av Boyer er s. 210-212. I Boyers konto er Leibniz en ditherer som ikke er helt sikker på hvordan han skal tolke sine egne dx-er. Noen ganger tolker han dem på en måte som får dem til å høres ut som moderne differensialformer, men ulike vanskeligheter fører ham alltid tilbake til å snakke om dem som uendelige dyr. Jeg er ikke sikker på hvor mye jeg stoler på Boyers tolkning, siden han skrev før NSA, og hans skildring av kalkulatorhistorien er en historie der de dårlige, onde uendelige dyrene blir drevet ut av de gode, ærlige grensene. >

Blaszczyks misforståelse (eller spørsmål, faktisk) # 10 er "Er det kontinuitet mellom Leibniz og Robinson?" Dette synes for meg å svinge litt for langt i motsatt retning og gjør at Leibniz er altfor forsiktig. Imidlertid gir de noen veldig interessante poeng om nære analogier mellom Leibniz og NSA.

Min oppfatning av det hele er at Leibniz holdning til og forståelse av hans uendelige dyr sannsynligvis var analog med Euclids forhold til det parallelle postulatet. . Det var sannsynligvis et urolig forhold, og den endelige avklaringen skulle ikke komme før århundrer senere.